Question

在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，若b=1，B=

π

3

，
（1）求a+c的最大值；
（2）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理

專題：計(jì)算題,解三角形,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）依余弦定理得1²=a²+c²-2accos

π

3

，可得a²+c²-ac=1，利用基本不等式，即可求a+c的最大值；
（2）確定ac≤1，即可求△ABC面積的最大值．

解答： 解：（1）依余弦定理得1²=a²+c²-2accos

π

3

，
∴a²+c²-ac=1，
∴（a+c）²=1+3ac≤1+

3

4

（a+c）²，
∴a+c≤2，
∴a+c的最大值2；
（2）由上有a²+c²-ac=1，
∴ac=（a²+c²）-1≥2ac-1，
∴ac≤1，
∴S=

1

2

ac•sin

π

3

≤

3

4

，即△ABC面積最大值為

3

4

．

點(diǎn)評：本題考查余弦定理，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．