Question

已知函數(shù) f（x）=

1

2

-

1

2x+1

．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）證明f（x）在定義域上為增函數(shù)；
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值域,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先求定義域，再確定f（-x）與f（x）的關(guān)系即可；
（2）利用定義法證明單調(diào)性；
（2）觀察法求函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱；
f(x)=

1

2

-

1

2x+1

=

2x-1

2(2x+1)

∵f(-x)=

2-x-1

2(2-x+1)

=

1-2x

2(1+2x)

=-f(x)
∴f（x）為奇函數(shù)．
（2）證明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=(

1

2

-

1

2x1+1

)-(

1

2

-

1

2x2+1

)
=

1

2x2+1

-

1

2x1+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

因為y=2^x在R上為增函數(shù)，且x₁＜x₂，
所以2x1＜2x2，即2x1-2x2＜0，
又因為(2x1+1)(2x2+1)＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）．
所以函數(shù)f（x）在定義域R上為增函數(shù)．
（3）解：∵2^x＞0，
∴2^x+1＞1，
∴0＜

1

2x+1

＜1，
∴-1＜-

1

2x+1

＜0，
∴-

1

2

＜

1

2

-

1

2x+1

＜

1

2

；
即f（x）的值域為(-

1

2

，

1

2

)．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．