【題目】已知橢圓 ,離心率 ,它的長軸長等于圓x2+y2﹣2x+4y﹣3=0的直徑.
(1)求橢圓 C的方程;
(2)若過點 的直線l交橢圓C于A,B兩點,是否存在定點Q,使得以AB為直徑的圓經(jīng)過這個定點,若存在,求出定點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由?
【答案】
(1)
解:圓方程x2+y2﹣2x+4y﹣3=0化為(x﹣1)2+(y+2)2=8,則圓的直徑為 ,∴ ,
由 得:c=2,b2=a2﹣c2=8﹣4=4,
以橢圓C的方程:
(2)
解:過點 作斜率為0和斜率不存在的直線l交橢圓C的兩個交點為直徑的圓分別為 和x2+y2=4,這兩個圓的交點為(0,2).
所以猜想存在點Q(0,2),使得以 AB為直徑的圓經(jīng)過這個定點.
設(shè)直線 AB的方程為 ,與橢圓 ,
聯(lián)立方程組得: ,
設(shè)交點A(x1,y1),B(x2,y2)得, ,
則
= ,
所以 ,
即以 AB為直徑的圓經(jīng)過這個定點Q(0,2)
【解析】(1)求出圓的直徑為 ,推出a,由離心率求解c,然后求解橢圓C的方程.(2)猜想存在點Q(0,2),使得以 AB為直徑的圓經(jīng)過這個定點.設(shè)直線 AB的方程為 ,與橢圓 ,聯(lián)立方程組得: ,設(shè)交點A(x1 , y1),B(x2 , y2),利用韋達定理,向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解即可.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了解本校學(xué)生的身體素質(zhì)情況,決定在全校的1000名男生和800名女生中按分層抽樣的方法抽取45名學(xué)生對他們課余參加體育鍛煉時間進行問卷調(diào)查,將學(xué)生課余參加體育鍛煉時間的情況分三類:A類(課余參加體育鍛煉且平均每周參加體育鍛煉的時間超過3小時),B類(課余參加體育鍛煉但平均每周參加體育鍛煉的時間不超過3小時),C類(課余不參加體育鍛煉),調(diào)查結(jié)果如表:
A類 | B類 | C類 | |
男生 | 18 | x | 3 |
女生 | 10 | 8 | y |
(1)求出表中x、y的值;
(2)根據(jù)表格統(tǒng)計數(shù)據(jù),完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認為課余參加體育鍛煉且平均每周參加體育鍛煉的時間超過3小時與性別有關(guān);
男生 | 女生 | 總計 | |
A類 | |||
B類和C類 | |||
總計 |
(3)在抽取的樣本中,從課余不參加體育鍛煉學(xué)生中隨機選取三人進一步了解情況,求選取三人中男女都有且男生比女生多的概率. 附:K2=
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.01 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某電子產(chǎn)品公司前四年的年宣傳費x(單位:千萬元)與年銷售量y(單位:百萬部)的數(shù)據(jù)如下表所示:
x(單位:千萬元) | 1 | 2 | 3 | 4 |
y(單位:百萬部) | 3 | 5 | 6 | 9 |
可以求y關(guān)于x的線性回歸方程為 =1.9x+1.
參考公式:回歸方程 = x+ 中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:
= , = ﹣ .
(1)該公司下一年準(zhǔn)備投入10千萬元的宣傳費,根據(jù)所求得的回歸方程預(yù)測下一年的銷售量m:
(2)根據(jù)下表所示五個散點數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程 = x+ .
x(單位:千萬元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 10 |
y(單位:百萬部) | 3 | 5 | 6 | 9 | m |
并利用小二乘法的原理說明 = x+ 與 =1.9x+1的關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=e2x﹣x2﹣a.
(1)證明f(x)在(﹣∞,+∞)上為增函數(shù);
(2)當(dāng)a=1時,解不等式f[f(x)]>x;
(3)若f[f(x)﹣x2﹣2x]>f(x)在(0,+∞)上恒成立,求a的最大整數(shù)值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中, ,點P為線段A1C上的動點(包含線段端點),則下列結(jié)論正確的 . ①當(dāng) 時,D1P∥平面BDC1;
②當(dāng) 時,A1C⊥平面D1AP;
③當(dāng)∠APD1的最大值為90°;
④AP+PD1的最小值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2CD=2AD=2.在等腰直角三角形CDE中,∠C=90°,點M,N分別為線段BC,CE上的動點,若 , 則 的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某生態(tài)園將一塊三角形地ABC的一角APQ開辟為水果園,已知角A為120°,AB,AC的長度均大于200米,現(xiàn)在邊界AP,AQ處建圍墻,在PQ處圍竹籬笆.
(1)若圍墻AP、AQ總長度為200米,如何可使得三角形地塊APQ面積最大?
(2)已知竹籬笆長為 米,AP段圍墻高1米,AQ段圍墻高2米,造價均為每平方米100元,求圍墻總造價的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓C: (a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2 , 上頂點為A,過A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于Q點,且F1恰好是線段QF2的中點.
(1)若過A、Q、F2三點的圓恰好與直線3x﹣4y﹣7=0相切,求橢圓C的方程;
(2)在(1)的條件下,B是橢圓C的左頂點,過點R( ,0)作與x軸不重合的直線l交橢圓C于E、F兩點,直線BE、BF分別交直線x= 于M、N兩點,若直線MR、NR的斜率分別為k1 , k2 , 試問:k1k2是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題:“若,則關(guān)于x的不等式的解集為空集”,那么它的逆命題,否命題,逆否命題,以及原命題中,假命題的個數(shù)是( 。
A.0B.2C.3D.4
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