Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．
（Ⅰ）證明：PC⊥AD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；
（Ⅲ）求三棱錐P-ACD外接球的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關系,二面角的平面角及求法

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）先證明DA⊥平面PAC，從而推出DA⊥PC；（2）過A作AM⊥PC交PC于點M，連接DM，則∠AMD為所求角；（3）長方體的對角線為球的直徑．

解答： 解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，∴DA⊥PA
又∵AC⊥AD，∴DA⊥平面PAC
∴DA⊥PC．

（Ⅱ）過A作AM⊥PC交PC于點M，連接DM，則∠AMD為所求角．
在Rt△PAC中，AM=

2

1+22

=

2

5

，
在Rt△DAM中，DM=

DA2+AM2

=

22+( 2 5 )2

=

2 30

5

，
在Rt△AMD中，sin∠AMD=

AD

DM

=

30

6

．
（Ⅲ）求三棱錐P-ACD外接球即為以AP，AD，AC為棱的長方體的外接球，
長方體的對角線為球的直徑；
∵l²=2²+2²+1²=9=（2R）²
∴R=

3

2

；
∴V=

4

3

πR3=

4

3

π×(

3

2

)3=

9

2

π．

點評：本題考查了線面垂直，線線垂直的證明，及二面角的平面角的作法，同時考查了外接球與內(nèi)幾何體的等量關系，綜合性較強．