Question

若直線y=m（m＞0）是函數(shù)f（x）=

3

cos²ωx-sinωxcosωx-

3

2

（ω＞0）的圖象的一條切線，并且切點(diǎn)橫坐標(biāo)依次成公差為π的等差數(shù)列．
（Ⅰ）求ω和m的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對邊．若（

A

2

，0）是函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心，且a=4，求b+c的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,兩角和與差的正弦函數(shù),函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換化f（x）為Acos（ωx+φ）的形式，由直線y=m（m＞0）是函數(shù)f（x）的一條切線求得m=A，再由切點(diǎn)橫坐標(biāo)依次成公差為π的等差數(shù)列求得函數(shù)f（x）的周期，從而求得ω的值；
（Ⅱ）由（

A

2

，0）是函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心求出A，結(jié)合已知a=4，由余弦定理得到（b+c）²-3bc=16，再結(jié)合不等式bc≤(

b+c

2

)2可求b+c的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=

3

cos²ωx-sinωxcosωx-

3

2

，得
f(x)=

3

×

1+cos2ωx

2

-

1

2

sin2ωx-

3

2

=cos(2ωx+

π

6

)，
由f（x）的圖象與直線y=m（m＞0）相切，得m=1．
∵切點(diǎn)橫坐標(biāo)依次成公差為π的等差數(shù)列，
∴周期T=

2π

2ω

=π，
∴ω=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=cos(2x+

π

6

)，
令2x+

π

6

=

π

2

+kπ，得x=

π

6

+

kπ

2

，k∈Z，
∵點(diǎn)（

A

2

，0）是函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心，又A是△ABC內(nèi)角，
∴

A

2

=

π

6

，A=

π

3

．
又a=4，
由余弦定理得：
a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc，即（b+c）²-3bc=16，
又bc≤(

b+c

2

)2，
∴-3bc≥-

3(b+c)2

4

，
∴(b+c)2-3bc≥

(b+c)2

4

，
則

(b+c)2

4

≤16，
∴（b+c）≤8，
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=a=4時，（b+c）_max=8．

點(diǎn)評：本小題主要考查三角函數(shù)的化簡、三角函數(shù)圖象和性質(zhì)、三角變換、兩角和差公式和正弦定理等，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．