Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）答案不唯一，具體見解析（Ⅱ）或

【解析】

（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可。

（Ⅱ）由于時，，若要使得成立，只需時，成立，利用導數(shù)討論的最大值和的最小值，即可求出實數(shù)的取值范圍。

（Ⅰ）由題可得的定義域為，，

當時，，解得，或，，解得，

∴在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；

當時，，解得，或，，解得，

∴在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；

當時，恒成立，且只在時，∴在上是增函數(shù).

（Ⅱ）時，，

若要使得成立，

只需時，成立，

由（Ⅰ）知當時，在上是增函數(shù)，，

當時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

，

當時，在上是減函數(shù)，，

，對稱軸，

當時，在上是增函數(shù)，，

，解得，∴，

當時，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

，，

整理得，∵，∴只需，

令，，當時，，在上是增函數(shù)，又，∴時，，∴.

當時，在上是減函數(shù)，，

，解得，

綜上所述，或.