Question

已知函數(shù)f（x）=x+

1

x

的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），求f（x）在（-∞，1）上的單調(diào)性并畫出函數(shù)的圖象．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的圖象

專題：作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義求出函數(shù)f（x）在（-∞，1）上的單調(diào)區(qū)間，并注意討論；判斷函數(shù)的奇偶性，由對(duì)稱畫出函數(shù)f（x）的圖象．

解答： 解：設(shè)x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

1

x1

）-（x₂+

1

x2

）
=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
①當(dāng)0＜x₁＜x₂＜1時(shí)，0＜x₁x₂＜1，1-

1

x1x2

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)；
②當(dāng)-1＜x₁＜x₂＜0時(shí)，0＜x₁x₂＜1，1-

1

x1x2

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在區(qū)間（-1，0）上是減函數(shù)；
③當(dāng)x₁＜x₂＜-1時(shí)，x₁x₂＞1，1-

1

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1）上的單調(diào)性是：在（-∞，-1）上是增函數(shù)；
在（-1，0）和（0，1）上都是減函數(shù)；
∵f（x）=x+

1

x

的定義域?yàn)閧x|x≠0}，
f（-x）=-x+

1

-x

=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且函數(shù)f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上遞增，在（-1，0），（0，1）上遞減
故圖象如圖所示：

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的定義在證明函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用，畫出函數(shù)的圖象的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)．