Question

如圖，在圓x²+y²=2上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足．點M在線段DP上，且

DM

=

2

2

DP

．
（Ⅰ）當點P在圓上運動時，求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）記（Ⅰ）所得的曲線為C，已知過點N（2，0）的直線l與曲線C相交于兩點A、B兩點，設Q為曲線C上一點，且滿足

OA

+

OB

=t

OQ

（其中O為坐標原點），求整數t的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）利用

DM

=

2

2

DP

，確定M，P坐標之間的關系，根據點P在圓上運動，即可求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）設出直線方程，和橢圓聯(lián)立后化為關于x的一元二次方程，由判別式大于0求出k的范圍，利用根與系數關系得到A，B兩點的橫坐標的和與積，代入

OA

+

OB

=t

OQ

后得到P點的坐標，把P點坐標代入橢圓方程后得到t與k的關系，由k的范圍確定t的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設點M的坐標為（x，y），點P的坐標為（x₀，y₀），則
由

DM

=

2

2

DP

，即(0，y)=

2

2

(x0-x，y0)，得：x0=x，y0=

2

y，
因為點P在圓x²+y²=2上運動，所以

x

2 0

+

y

2 0

=2．①
把x0=x，y0=

2

y代入方程①，得x²+2y²=2，即

x2

2

+y2=1這就是點M的軌跡方程．…5分
（Ⅱ）曲線C的方程為

x2

2

+y2=1．
由題意知直線l的斜率存在．
設直線l的方程：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），…6分
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1.

得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．…8分
△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，∴k2＜

1

2

．…9分
∵

OA

+

OB

=t

OP

，
∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y）．
∴x=

x1+x2

t

=

8k2

t(1+2k2)

，y=

y1+y2

t

=

-4k

t(1+2k2)

∵點P在橢圓上，∴[

8k2

t(1+2k2)

]²+2•[

-4k

t(1+2k2)

]²=2．
∴16k²=t²（1+2k²）…11分
∴t2=

16k2

1+2k2

=

16

1 k2 +2

＜

16

2+2

=4，則-2＜t＜2，…13分
∴t的最大整數值為1．…14分．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質，考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了平面向量的坐標運算，訓練了利用代入法求解變量的取值范圍．屬中檔題．