Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）+mx，當x=0時，函數(shù)f（x）取得極大值．
（Ⅰ）求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）已知結論：若函數(shù)f（x）=ln（x+1）+mx在區(qū)間（a，b）內導數(shù)都存在，且a＞-1，則存在x₀∈（a，b），使得f′（x₀）=

f(b)-f(a)

b-a

，試用這個結論證明：若-1＜x₁＜x₂，函數(shù)g（x）=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

（x-x₁）+f（x₁），則對任意x∈（x₁+x₂），都有f（x）＞g（x）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，利用當x=0時，函數(shù)f（x）取得極大值，即可求得實數(shù)m的值；
（Ⅱ）令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-

f(x1)-f(x2)

x1-x2

(x-x1)-f(x1)，則h′(x)=f′(x)-

f(x1)-f(x2)

x1-x2

，根據(jù)函數(shù)f（x）在x∈（x₁，x₂）上可導，可得存在x₀∈（x₁，x₂），使得f′(x0)=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

，從而可得函數(shù)的單調性，即可證明結論．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

1

x+1

+m．由f'（0）=0，得m=-1，此時f′(x)=-

x

x+1

．
當x∈（-1，0）時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，0）上單調遞增；
當x∈（0，+∞）時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調遞減．
∴函數(shù)f（x）在x=0處取得極大值，故m=-1（6分）
（Ⅱ）令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-

f(x1)-f(x2)

x1-x2

(x-x1)-f(x1)，
則h′(x)=f′(x)-

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．（8分）
函數(shù)f（x）在x∈（x₁，x₂）上可導，∴存在x₀∈（x₁，x₂），使得f′(x0)=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．（10分）
又f'（x）=

1

x+1

-1  ∴h′(x)=f′(x)-f′(x0)=

1

x+1

-

1

x0+1

=

x0-x

(x+1)(x0+1)

當x∈（x₁，x₀）時，h'（x）＞0，h（x）單調遞增，∴h（x）＞h（x₁）=0；
當x∈（x₀，x₂）時，h'（x）＜0，h（x）單調遞減，∴h（x）＞h（x₂）=0；
故對任意x∈（x₁，x₂），都有f（x）＞g（x）（14分）

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查了學生的推理論證能力和邏輯思維能力，構造函數(shù)并由函數(shù)的導函數(shù)的符號判斷函數(shù)在不同區(qū)間上的單調性是解答該題的關鍵，是難度較大的題目．