Question

10．對于函數(shù)y=f（x），x∈D，若對任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得$\sqrt{f（{x}_{1}）f（{x}_{2}）}$=M，則稱函數(shù)f（x）在D上的幾何平均數(shù)為M，已知f（x）=x³-x²+1，x∈[1，2]，則函數(shù)f（x）=x³-x²+1在[1，2]上的幾何平均數(shù)M=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中對于函數(shù)y=f（x），x∈D，若存在常數(shù)C，對任意x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得$\sqrt{f（{x}_{1}）f（{x}_{2}）}$=M，則稱函數(shù)f（x）在D上的幾何平均數(shù)為M．我們易得若函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，則M應(yīng)該等于函數(shù)在區(qū)間D上最大值與最小值的幾何平均數(shù)，由f（x）=x³-x²+1，D=[1，2]，代入即可得到答案．

解答 解：根據(jù)已知中關(guān)于函數(shù)f（x）在D上的幾何平均數(shù)為M的定義，
由于f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-2x，在{1，2]內(nèi)f′（x）＞0，
則f（x）=x³-x²+1在區(qū)間[1，2]單調(diào)遞增，
則x₁=1時，存在唯一的x₂=2與之對應(yīng)，
且x=1時，f（x）取得最小值1，x=2時，取得最大值5，
故M=$\sqrt{1×5}$=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 此題主要考查了應(yīng)用新定義分析題意解決問題．對于新定義的問題，需要認(rèn)真分析定義內(nèi)容，切記不可偏離題目．