精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
如圖在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=
3
,點F是PD中點,點E是DC邊上的任意一點.
(Ⅰ)當點E為DC邊的中點時,判斷EF與平面PAC的位置關系,并加以證明;
(Ⅱ)證明:無論點E在DC邊的何處,都有AF⊥FE;
(Ⅲ)求三棱錐B-AFE的體積.
考點:棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與平面之間的位置關系,直線與平面垂直的性質
專題:綜合題,空間位置關系與距離
分析:(Ⅰ)利用三角形的中位線及線面平行的判定定理解決;
(Ⅱ)通過證明AF⊥平面PCD即可解決;
(Ⅲ)利用換底法求VF-ABE即可.
解答: (Ⅰ)解:當點E為BC的中點時,EF與平面PAC平行.
∵在△PBC中,E、F分別為BC、PB的中點,
∴EF∥PC,又EF?平面PAC,而PC?平面PAC,
∴EF∥平面PAC;

(Ⅱ)證明:∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,
∴PA⊥CD,
∵ABCD是矩形,∴CD⊥AD
∵AD∩AP=A,
∴CD⊥平面PAD,
又AF?平面PAB,
∴AF⊥CD.
又PA=AD,點F是PD的中點,
∴AF⊥PD,
又∵CD∩PD=D,
∴AF⊥平面PCD.
∵EF?平面PCD,∴AF⊥EF;

(Ⅲ)解:作FG∥PA交AD于G,則FG⊥平面ABCD,且FG=
1
2
,
VB-AFE=VF-ABE=
1
3
S△ABEFG=
3
12

∴三棱錐B-AFE的體積為
3
12
點評:無論是線面平行(垂直)還是面面平行(垂直),都源自于線與線的平行(垂直),這種“高維”向“低維”轉化的思想方法,在解題時非常重要,在處理實際問題的過程中,可以先從題設條件入手,分析已有的平行(垂直)關系,再從結論入手分析所要證明的平行(垂直)關系,從而架起已知與未知之間的橋梁.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知向量
AC
,
AD
AB
在正方形網格中的位置如圖所示,若
AC
AB
AD
,則λ+μ=( 。
A、2B、-2C、3D、-3

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,AB是半圓O的直徑,C是半圓O上除A、B外的一個動點,DC⊥平面ABC,DC∥BE,CD=BE,AB=4,tan∠EAB=
1
4

(1)證明:平面ADE⊥平面ACD;
(2)試探究當C在什么位置時三棱錐C-ADE的體積取得最大值,請說明理由并求出這個最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

求函數y=-2x+
x
+1的最大值和最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E,F分別為AA1,CC1,AB的中點,M為BE的中點.求證:C1D∥平面B1FM.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=ex-ax(a∈R),且函數f(x)的最小值為a.
(1)已知b∈R,設af(x)+bx>0,且{x|0≤x≤2}⊆P,求實數b的取值范圍;      
(2)設n∈N,證明
 
 
(
k
n
)n
e
e-1

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
a
x
+2lnx-1,a∈R.
(Ⅰ)當a=1時,求函數f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)求函數f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右焦點分別為F1,F2,離心率為為
2
2
.點P在橢圓E上,且△PF1F2的周長為4
2
+4.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)若直線l:y=x+m與橢圓E交于A,B兩點,O為坐標原點,求△AOB面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

求證:(1+1)(1+
1
3
)(1+
1
5
)…(1+
1
2n-1
)>
2n+1

查看答案和解析>>

同步練習冊答案