Question

求證：（1+1）（1+

1

3

）（1+

1

5

）…（1+

1

2n-1

）＞

2n+1

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，驗(yàn)證n=2時(shí)不等式成立，然后假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，證明n=k+1時(shí)不等式也成立即可．

解答： 證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1+1=2＞

3

=右邊顯然成立．（2分）
（2）假設(shè)n=k（k≥1且k∈N）時(shí)，：（1+1）（1+

1

3

）（1+

1

5

）…（1+

1

2k-1

）＞

2k+1

成立 （4分）
則當(dāng)n=k+1時(shí)，（1+1）（1+

1

3

）（1+

1

5

）…（1+

1

2k-1

）（1+

1

2k+1

）＞

2k+1

（1+

1

2k+1

）=

2k+1

+1． （5分）
又因?yàn)?span id="flzzf5n" class="MathJye">2

2k+1

＞1，
∴(

2k+1

+1)2=2k+2+2

2k+1

＞2k+3，
即（1+1）（1+

1

3

）（1+

1

5

）…（1+

1

2k-1

）（1+

1

2k+1

）＞

2(k+1)+1

，
當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．（11分）
由（1）（2）可知對于大于1的任意自然數(shù)n，都有（1+1）（1+

1

3

）（1+

1

5

）…（1+

1

2n-1

）＞

2n+1

 （12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的證明步驟，注意n=k+1時(shí)必須用上假設(shè)，考查邏輯推理能力．