Question

“關(guān)于x的不等式x+

1

x

＞a在區(qū)間[

1

2

，2]內(nèi)至少有一個(gè)解”是“a＜2”的（　　）

• A、充分不必要條件
• B、必要不充分條件
• C、充要條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專(zhuān)題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：由關(guān)于x的不等式x+

1

x

＞a在區(qū)間[

1

2

，2]內(nèi)至少有一個(gè)解，可得a＜(x+

1

x

)max，x∈[

1

2

，2]．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：由關(guān)于x的不等式x+

1

x

＞a在區(qū)間[

1

2

，2]內(nèi)至少有一個(gè)解，∴a＜(x+

1

x

)max，x∈[

1

2

，2]．
令f（x）=x+

1

x

，x∈[

1

2

，2]．則f′(x)=1-

1

x2

=

x2-1

x2

，
當(dāng)x∈[

1

2

，1)時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∵f(

1

2

)=

5

2

=f（2）．
∴當(dāng)x=2或

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值

5

2

．
∴a＜

5

2

．
“關(guān)于x的不等式x+

1

x

＞a在區(qū)間[

1

2

，2]內(nèi)至少有一個(gè)解”是“a＜2”的必要非充分條件．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、簡(jiǎn)易邏輯，屬于中檔題．