Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax，g（x）=-ax（

1

2

x-1）+1
（Ⅰ）已知區(qū)間[-1，1]是不等式f（x）＞0的解集的子集，求a的取值范圍；
（Ⅱ）已知函數(shù)φ（x）=f（x）+g（x），在函數(shù)y=φ（x）圖象上任取兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若存在a使得y₁-y₂≤m（x₁-x₂）恒成立，求m的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用區(qū)間[-1，1]是不等式f（x）＞0的解集的子集，即可求a的取值范圍；
（Ⅱ）若存在a使得φ（x₁）-φ（x₂）≤mx₁-mx₂成立，即：φ（x₁）-mx₁≤φ（x₂）-mx₂，構(gòu)建函數(shù)：F（x）=φ（x）-mx，為增函數(shù)滿足題意，即F'（x）≥0恒成立，構(gòu)建函數(shù)G（x）=e^x-ax-m，G'（x）=e^x-a，分類討論，即可求m的最大值．

解答： 解：（I） f′（x）=e^x-a
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在區(qū)間[-1，1]上為增函數(shù)
由題意可知f（-1）＞0，即 a＞-

1

e

，∴-

1

e

＜a≤0…（2分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=0，解得：x₀=lna…（3分）
x∈（-∞，x₀）f′（x）＜0，x∈（x₀，+∞）f′（x）＞0
故有當(dāng)x₀∈[-1，1]，即：

1

e

≤a≤e時(shí)，f（x₀）＞0即滿足題意
即f（lna）=a-alna＞0，構(gòu)建函數(shù)h（x）=x-xlnx（

1

e

≤x≤e）
h′（x）=-lnx，當(dāng)x=1時(shí)為極大值點(diǎn)，有h（1）≤0
故a-alna＞0不等式無解…（4分）
當(dāng)x₀＜-1即0＜a＜

1

e

時(shí)，f（-1）＞0，即e^-1-a（-1）＞0
解得：a＞-

1

e

，∴0＜a＜

1

e

當(dāng)x₀＞1即a＞

1

e

時(shí)，f（1）＞0，即e-a＞0
解得：a＜e，∴

1

e

＜a＜e…（6分）
綜上所述：a∈(-

1

e

，

1

e

)∪(

1

e

，e)…（7分）
（II）由題意可知：φ(x)=ex-

a

2

x2+1，可設(shè)任意兩數(shù)x₁＜x₂
若存在a使得φ（x₁）-φ（x₂）≤mx₁-mx₂成立，即：φ（x₁）-mx₁≤φ（x₂）-mx₂
構(gòu)建函數(shù)：F（x）=φ（x）-mx，為增函數(shù)滿足題意，即F'（x）≥0恒成立即可，F(xiàn)'（x）=e^x-ax-m，
構(gòu)建函數(shù)G（x）=e^x-ax-m，G'（x）=e^x-a…（9分）
當(dāng)a＜0時(shí)，G'（x）＞0，G（x）為增函數(shù)
則不存在a使得F'（x）≥0恒成立，故不合題意…（10分）
當(dāng)a=0時(shí)，F(xiàn)'（x）=e^x-m≥0，可解得m≤0…（11分）
當(dāng)a＞0時(shí)，可知G'（x）=e^x-a=0，即x=lna為極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，
G（lna）=a-alna-m≥0，∴m≤a-alna，
由于存在a使得該式恒成立，即m≤（a-alna）_max，
由（I）可知，當(dāng)a=1時(shí)，m≤1…（12分）
綜上所述m的最大值為1…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查函數(shù)的構(gòu)造，難度大．