Question

6．已知函數(shù)f（x）=sinx•cos（x-$\frac{π}{6}$）+cos²x-$\frac{1}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值，并寫出f（x）取最大值x時的取值集合；
（2）求函數(shù)f（x）在[一$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上的減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用差角公式和將次公式展開，再用兩角和的正弦公式化成f（x）=Asin（ωx+φ）形式，求出最大值即對應的x；
（2）求出f（x）的減區(qū)間，再求減區(qū)間與[一$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]的交集即可．

解答 解：（1）f（x）=sinx•cos（x-$\frac{π}{6}$）+cos²x-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$sin²x+cos²x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1}{4}$cos2x+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$．
∴f（x）的最大值是$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
令2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，解得x=$\frac{π}{6}$+kπ．
∴當f（x）取得最大值時x的取值集合是{x|x=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z}．
（2）令$\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}+2kπ$，
解得$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，即f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z．
當k=0時，[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]∩[一$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]=[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
當k=-1時，[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]∩[一$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]=∅，
當k=1時，[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]∩[一$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]=∅，
∴f（x）在[一$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上的減區(qū)間是[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換及性質(zhì)，對函數(shù)進行化簡是解題關鍵．