Question

己知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，若點(diǎn)A，B是該拋物線上的點(diǎn)，，線段AB的中點(diǎn)M在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為N，則的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)|AF|=a、|BF|=b，由拋物線定義結(jié)合梯形的中位線定理，得2|MN|=a+b．再由勾股定理得|AB|²=a²+b²，結(jié)合基本不等式求得|AB|的范圍，從而可得的最大值．
解答：解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，A、B在準(zhǔn)線上的射影點(diǎn)分別為Q、P，連接AQ、BQ
由拋物線定義，得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中根據(jù)中位線定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由勾股定理得|AB|²=a²+b²，配方得|AB|²=（a+b）²-2ab，
又∵ab≤（） ²，
∴（a+b）²-2ab≥（a+b）²-2×（） ²=（a+b）²
得到|AB|≥（a+b）．
所以≤=，即的最大值為．
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線的弦AB對焦點(diǎn)F所張的角為直角，求AB中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離與AB比值的取值范圍，著重考查了拋物線的定義與簡單幾何性質(zhì)、梯形的中位線定理和基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．