Question

【題目】已知直線l1：y＝x，l2：y＝－x，動點(diǎn)P，Q分別在l1，l2上移動，｜PQ｜＝2，N是線段PQ的中點(diǎn)，記點(diǎn)N的軌跡為曲線C．

（Ⅰ）求曲線C的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)M（0，1）分別作直線MA，MB交曲線C于A，B兩點(diǎn)，設(shè)這兩條直線的斜率分別為k1，k2，且k1＋k2＝2，證明：直線AB過定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）（-1，-1）.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)條件設(shè)P，Q，由得，設(shè)N（x，y）是線段PQ的中點(diǎn)，所以 消去m，n可得曲線C的方程. （Ⅱ）先求出直線AB的方程，再找到定點(diǎn).

（Ⅰ）根據(jù)條件設(shè)P，Q，∵，

即，∵N（x，y）是線段PQ的中點(diǎn)，∴

消去m，n可得曲線C的方程為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，點(diǎn)M（0，1）為橢圓的上頂點(diǎn)，

當(dāng)直線AB的斜率不存在時，設(shè)A，則B，

由得，得；

當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)AB的方程為、A， B，

，得，

，

即，

由m≠1，，

即，故直線AB過定點(diǎn)（-1，-1）.

經(jīng)檢驗(yàn)，此時直線與橢圓有兩個交點(diǎn)，滿足題意.綜上所述，直線AB過定點(diǎn)（-1，-1）.