Question

如圖四棱柱ABCD-A′B′C′D′的底面是正方形，O是底面的中心，A′O=1，AB=AA′=A′D=A′B=

2

．
（1）證明：平面A′BD∥平面B′CD′；
（2）求二面角A-BC-B′的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導出A′BCD′是平行四邊形，從而得到A′B∥面B′CD′，由此能夠證明平面A′BD∥平面B′CD′．
（2）過O作OM⊥AD于M，連結(jié)A′M，由已知條件推導出∠A′MO為A′-AD-B的平面角，由此能求出二面角A-BC-B′的余弦值．

解答： （1）證明：在四棱柱中，
∵BC∥A′D′，且BC=A′D′，
∴A′BCD′是平行四邊形，
∴A′B∥CD′，
又∵A′B不包含于平面B′CD′，CD′?B′CD′，
∴A′B∥面B′CD′，
又A′B?面A′BD，A′D?面A′BD，且A′B∩A′D=A′，
∴平面A′BD∥平面B′CD′．
（2）解：∵平面ADD′A′∥平面BCC′B′，
∴二面角A-BC-B′與二面角A′-AD-B互補，
∵A′Q=1，AB=AA′=A′D=

2

，
∴A′ Q2 +OA²=AA^'2，A′O²+OB²=A′B²，
∴A′O⊥OA，A′O⊥OB，
∴A′O⊥平面ABCD，
∴過O作OM⊥AD于M，連結(jié)A′M，
∴A′M⊥AD，∠A′MO為A′-AD-B的平面角，
cos∠A′MO=

OM

A′M

=

3

3

，
∴二面角A-BC-B′的余弦值為-

3

3

．

點評：本題考查平面與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．