Question

已知不等式x²-3ax+2a²＜0（a＞0）成立的充分條件是|x-1|＜b，（b＞0），求2a+b的取值范圍．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用,必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)不等式的解法求出不等式的等價條件，利用充分條件的定義建立不等式關(guān)系，利用線性規(guī)劃的知識即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵不等式x²-3ax+2a²＜0（a＞0），
∴（x-a）（x-2a）＜0．
即a＜x＜2a．
不等式|x-1|＜b的解為1-b＜x＜1+b，
∵不等式x²-3ax+2a²＜0（a＞0）成立的充分條件是|x-1|＜b，（b＞0），
∴

a＞0，b＞0 a≤1-b 2a≥1+b

，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
設(shè)z=2a+b，
則b=-2a+z，
平移直線b=-2a+z，由圖象可知當直線經(jīng)過點C（1，0）時，直線的截距最大，此時z=2．
當直線經(jīng)過點A（

1

2

，0）時，直線的截距最小，此時z=2×

1

2

=1，
即1≤z≤2，
∴2a+b的取值范圍是[1，2]．

點評：本題主要考查不等式的解法和應(yīng)用，利用條件結(jié)合線性規(guī)劃的知識是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強．