Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=aⁿ+b（a≠0且a≠1），證明數(shù)列{a_n]為等比數(shù)列的充要條件是b=-1．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：由等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的關(guān)系，分充分性和必要性?xún)煞矫鎭?lái)證明可得．

解答： 證明：（1）充分性：
當(dāng)b=-1時(shí)，a₁=S₁=a-1．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=a^n-1（a-1）．
上式當(dāng)n=1時(shí)也成立，∴

an+1

an

=

an(a-1)

an-1(a-1)

=a
即數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．
（2）必要性：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=a+b．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=a^n-1（a-1）．
∵a≠0，b≠1．
∴

an+1

an

=

an(a-1)

an-1(a-1)

=a
∵{a_n}為等比數(shù)列，
∴

a2

a1

=

a(a-1)

a+b

=a，
即a-1=a+b．∴b=-1．
綜上所述，數(shù)列{a_n]為等比數(shù)列的充要條件是b=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，考查充要條件的證明，屬中檔題．