Question

2．已知函數(shù)f（x）=a-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，（x∈R）．且f（x）為奇函數(shù)，
（1）求a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上為增函數(shù)，且滿足f（x-1）+f（x）＜0，求x 的取值集合．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)閤∈R，所以在實(shí)屬范圍內(nèi)任取一個(gè)x值代入已知函數(shù)解析式，列出關(guān)于a的方程，通過解方程求得a的值．
（2）利用奇函數(shù)的定義得到-f（x）=f（-x），結(jié)合已知條件函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上為增函數(shù)，且滿足f（x-1）+f（x）＜0得到：x-1＜-x且-1＜-x＜1且-1＜x-1＜1，由此求得x的取值范圍．

解答 解：（1）依題意得：f（0）=0，即：0=a-$\frac{1}{2}$，
解得：a=$\frac{1}{2}$；
（2）∵函數(shù)f（x）=a-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$為奇函數(shù)，
∴-f（x）=f（-x），
又∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上為增函數(shù)，且滿足f（x-1）+f（x）＜0，f（x-1）＜-f（x）=f（-x）
∴x-1＜-x，-1＜-x＜1，-1＜x-1＜1同時(shí)滿足，
得出：0＜x＜$\frac{1}{2}$．
故x的取值集合為（0，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了奇偶性與單調(diào)性的綜合，函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．該題利用了偶函數(shù)與單調(diào)性之間的關(guān)系構(gòu)造了關(guān)于x的不等式，最后不要忽視結(jié)果要寫成集合形式．