Question

7．?dāng)?shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=1，a₂=6，S_n=3S_n-1-2S_n-2+2ⁿ（n≥3）．
（1）求證：{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}（n∈N^*）是等差數(shù)列；
（2）求{a_n}前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 由數(shù)列遞推式變形得到S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）-1，即a_n+1=2a_n-1（n≥2），（1）由已知條件（n-1），從而得到an=n•2n-1，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n

解答 解：（1）∵S_n=3S_n-1-2S_n-2+2ⁿ，
∴S_n-S_n-1=2（S_n-1-S_n-2）+2ⁿ，即a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥3），
所以$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+1，
又a₁=1，a₂=6，滿足上式，
所以{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}（n∈N^*）是等差數(shù)列；
（2）由（1）得到$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=n-\frac{1}{2}$，所以a_n=${2}^{n}（n-\frac{1}{2}）$（n∈N^*），
所以前n項(xiàng)和S_n=${2}^{1}（1-\frac{1}{2}）+{2}^{2}（2-\frac{1}{2}）+{2}^{3}（3-\frac{1}{2}）+…+{2}^{n}$（n-$\frac{1}{2}）$，①
2S_n=${2}^{2}（1-\frac{1}{2}）+{2}^{3}（2-\frac{1}{2}）+…+{2}^{n}（n-1-\frac{1}{2}）$+${2}^{n+1}（n-\frac{1}{2}）$，②
①-②得-S_n=2（1-$\frac{1}{2}$）+2²+2³+…+2ⁿ-${2}^{n+1}（n-\frac{1}{2}）$=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-{2}^{n+1}（n-\frac{1}{2}）$-1=${2}^{n+1}（\frac{3}{2}-n）-3$，
所以S_n=3-${2}^{n+1}（\frac{3}{2}-n）$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推式，本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．