Question

12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）短軸上的兩個(gè)三等分點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若直線l為圓x²+y²=$\frac{90}{19}$的一條切線，l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求橢圓的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的對(duì)角線性質(zhì)可知b=3c，進(jìn)而根據(jù)a，b和c的關(guān)系進(jìn)而求得a和c的關(guān)系，則橢圓的離心率可得；
（2）設(shè)出直線方程為x=±$\frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{19}}$或y=kx+m，由直線和圓相切的條件：d=r，設(shè)出橢圓方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量垂直的條件，化簡(jiǎn)整理計(jì)算可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程．

解答 解：（1）依題意可知2c=$\frac{2b}{3}$，
∴a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{10}$c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
（2）設(shè)直線方程為x=±$\frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{19}}$或y=kx+m，
當(dāng)x=±$\frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{19}}$時(shí)，代入橢圓方程可得y=±$\sqrt{9{t}^{2}-\frac{81}{19}}$，
由$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，可得$\frac{90}{19}$-（9t²-$\frac{81}{19}$）=0，解得t=1；
因?yàn)橹本�l：y=kx+m與圓x²+y²=$\frac{90}{19}$相切，
所以$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{90}{19}}$，即m²=$\frac{90}{19}$（1+k²），①
設(shè)c=t，則a=$\sqrt{10}$t，b=3t，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{10{t}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{9{t}^{2}}$=1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{9{x}^{2}+10{y}^{2}=90{t}^{2}}\end{array}\right.$，得（9+10k²）x²+20kmx+10m²-90t²=0．
設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{20km}{9+10{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{10{m}^{2}-90{t}^{2}}{9+10{k}^{2}}$，
所以y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{9{m}^{2}-90{k}^{2}{t}^{2}}{9+10{k}^{2}}$，
由于OA⊥OB，則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{10{m}^{2}-90{t}^{2}}{9+10{k}^{2}}$+$\frac{9{m}^{2}-90{k}^{2}{t}^{2}}{9+10{k}^{2}}$=0，
即為19m²=90t²（1+k²），②
由①②解得t=1，則a=$\sqrt{10}$，b=3．
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率公式和方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查直線和圓相切的條件，屬于中檔題．