Question

20．已知D是△ABC的邊BC上（不包括B、C點）的一動點，且滿足$\overrightarrow{AD}$=$α\overrightarrow{AB}$+$β\overrightarrow{AC}$，則$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{β}$的最小值為（　�。�

• A． 3
• B． 5
• C． 6
• D． 4

Answer 1

分析 利用向量共線定理、基本不等式的性質(zhì)即可得出最小值4．

解答 解：∵B，C，D三點共線，且滿足$\overrightarrow{AD}$=$α\overrightarrow{AB}$+$β\overrightarrow{AC}$，
∴α+β=1，α，β＞0．
∴$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{β}$=（α+β）（$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{β}$）=2+$\frac{α}{β}$+$\frac{β}{α}$≥2+2$\sqrt{\frac{α}{β}•\frac{β}{α}}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)$α=β=\frac{1}{2}$，取得等號，
則$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{β}$的最小值為4．
故選D．

點評 本題考查了向量共線定理、基本不等式的性質(zhì)的運用：求最值，屬于基礎(chǔ)題．