Question

5．已知函數(shù)f（x）=me^x-$\frac{lnx}{x}$-ne^xx³，且函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，e）處的切線與直線x-（2e+1）y-3=0垂直，求證：當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）＞0．

Answer 1

分析 先求導(dǎo)f′（x）=me^x-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$-n（e^xx³+3e^xx²），從而可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=me-ne=e}\\{f′（1）=me-1-4ne=-2e-1}\end{array}\right.$，從而解出f（x）=2e^x-$\frac{lnx}{x}$-e^xx³=$\frac{2{e}^{x}x-lnx-{e}^{x}{x}^{4}}{x}$=$\frac{{e}^{x}（2x-{x}^{4}）-lnx}{x}$，從而判斷即可．

解答 證明：∵f（x）=me^x-$\frac{lnx}{x}$-ne^xx³，
∴f′（x）=me^x-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$-n（e^xx³+3e^xx²），
又∵函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，e）處的切線與直線x-（2e+1）y-3=0垂直，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=me-ne=e}\\{f′（1）=me-1-4ne=-2e-1}\end{array}\right.$，
解得，m=2，n=1；
故f（x）=2e^x-$\frac{lnx}{x}$-e^xx³
=$\frac{2{e}^{x}x-lnx-{e}^{x}{x}^{4}}{x}$
=$\frac{{e}^{x}（2x-{x}^{4}）-lnx}{x}$，
∵x∈（0，1），
∴x＞0，e^x＞0，2x-x⁴＞0，lnx＜0，
∴$\frac{{e}^{x}（2x-{x}^{4}）-lnx}{x}$＞0，
故當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）＞0．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及不等式的證明，屬于基礎(chǔ)題．