Question

20．已知函數(shù)f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-2cos（x-$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+2cos2x（x∈R），則函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域為[-$\frac{1}{2}$，1]．

Answer 1

分析 運用兩角和差的正弦和余弦公式，及二倍角公式，化簡函數(shù)f（x），再由x的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，計算即可得到值域．

解答 解：f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-2cos（x-$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+2cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-2（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx）（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx）+2cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}cos2x$-cos2x+2cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
則sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]．
故答案為：[-$\frac{1}{2}$，1]．

點評 本題考查兩角和差的正弦和余弦公式的運用，同時考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．