Question

已知數列{a_n}滿足a₁=

1

3

，且當n≥2時，a_n=

an-1

2-an-1

．
（1）求證：數列{

1

an

-1}是等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{a_n}的前n項和為S_n，求證：對任意的正整數n都有

2

3

（1-

1

2n

）≤S_n≤

5

6

．

Answer 1

考點：數列遞推式,等比關系的確定

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）將n≥2a_n=

an-1

2-an-1

變形整理得，從數列{

1

an

-1}是以2為首項，2為公比的等比數列，由此即可得到數列{a_n}的通項公式；
（2）應用放縮法證明不等式，數列的前n項和，S_n=a₁+a₂+…+a_n=

1

1+21

+

1

1+22

+…+

1

1+2n

，而a_n=

1

1+2n

≥

1

3

•

1

2n-1

，a_n=

1

1+2n

＜

1

2n

，再根據等比數列的前n項公式，求證出結論

解答： 解：（1）∵a_n=

an-1

2-an-1

，
∴2a_n-a_na_n-1=a_n-1，
∴

2

an-1

-1=

1

an

，
∴

1

an

-1=2（

1

an-1

-1）
∵a₁=

1

3

，

1

a1

-1=2，
∴數列{

1

an

-1}是以2為首項，2為公比的等比數列，
∴

1

an

-1=2×2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=

1

1+2n

（2）∵S_n=a₁+a₂+…+a_n=

1

1+21

+

1

1+22

+…+

1

1+2n

，
∵a_n=

1

1+2n

≥

1

3

•

1

2n-1

，
∴S_n=

1

1+21

+

1

1+22

+…+

1

1+2n

≥

1

3

（1+

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

）=

1

3

•

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=

2

3

（1-

1

2n

）
∵a_n=

1

1+2n

＜

1

2n

，
∴S_n=

1

1+21

+

1

1+22

+…+

1

1+2n

＜

1

3

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

）=

1

3

+

1 4 (1-( 1 2 )n-1)

1- 1 2

=

1

3

+

1

2

-(

1

2

)n＜

1

3

+

1

2

=

5

6

，
∴對任意的正整數n都有

2

3

（1-

1

2n

）≤S_n≤

5

6

．

點評：本題考查數列的遞推式，在已知a₁的情況下求數列的通項公式，并且證明了關于前n項和的一個不等式，著重考查了等比數列的通項公式、求和公式和運用放縮法證明不等式恒成立等知識，屬于難題．