Question

已知f（x）=cos2x+2msinx-2m-2
（1）若|x|≤

π

2

，f（x）的最大值為1，求實數(shù)m的值
（2）若當(dāng)0≤x≤

π

6

時，f（x）＜0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）化簡可得f（x）=-2（sinx-

m

2

）²+

m2

2

-2m-1，可得-1≤sinx≤1，由二次函數(shù)的知識分類討論可得；
（2）問題轉(zhuǎn)化為m＞

2sin2x+1

2sinx-2

恒成立，故只需m大于

2sin2x+1

2sinx-2

的最大值，令y=

2sin2x+1

2sinx-2

，由基本不等式求最值即可．

解答： 解：（1）化簡可得f（x）=cos2x+2msinx-2m-2=1-2sin²x+2msinx-2m-2=-2sin²x+2msinx-2m-1=-2（sinx-

m

2

）²+

m2

2

-2m-1，
∵|x|≤

π

2

，∴-1≤sinx≤1，
當(dāng)

m

2

≤-1即m≤-2時，當(dāng)sinx=-1時f（x）取最大值-4m-3=1，解得m=-1，不滿足m≤-2；
當(dāng)

m

2

≥1即m≥2時，當(dāng)sinx=1時f（x）取最大值-3，不滿足最大值為1；
當(dāng)-1＜

m

2

＜1即-2＜m＜2時，當(dāng)sinx=

m

2

時f（x）取最大值

m2

2

-2m-1=1，
解得m=2±2

2

，由-2＜m＜2可得m=2-2

2

；
綜上可得實數(shù)m的值為2-2

2

（2）由（1）知f（x）＜0恒成立，即-2sin²x+2msinx-2m-1＜0恒成立，
即m＞

2sin2x+1

2sinx-2

恒成立，故只需m大于

2sin2x+1

2sinx-2

的最大值，
令y=

2sin2x+1

2sinx-2

=

2(sinx-1)2+4(sinx-1)+3

2(sinx-1)

=2（sinx-1）+

3

2(sinx-1)

+2=-[2（1-sinx）+

3

2(1-sinx)

]+2
≤-2

2(1-sinx)• 3 2(1-sinx)

+2=2-2

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)2（1-sinx）=

3

2(1-sinx)

，即sinx=1-

3

2

時取等號，
∵0≤x≤

π

6

，∴0≤sinx≤

1

2

，而sinx=1-

3

2

∈[0，

1

2

]
∴y的最大值為：2-2

3

，
∴實數(shù)m的取值范圍為：m＞2-2

3

點評：本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及分類討論和基本不等式求最值，屬中檔題．