Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）求函數(shù)的最小值；

（2）設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）斜率為的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，

求證：

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（3）見解析.

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求其單調(diào)區(qū)間，即可求出極值，可得最小值；（2）分別討論和時(shí)函數(shù)的單調(diào)性；（3）將直線斜率用表示出來，將要證的不等式轉(zhuǎn)化為證（），最后討論函數(shù)（）和（）單調(diào)性，即可證明原題.

（1），令，得

因?yàn)楫?dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，

所以當(dāng)時(shí)，

（2），

①當(dāng)時(shí)，恒有，在上是增函數(shù)；

②當(dāng)時(shí)，

令，得，解得；

令，得，解得，

綜上，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

(3) ．

要證，即證，等價(jià)于證，令，

則只要證，由知，故等價(jià)于證 (*)．

① 設(shè)，則，故在上是增函數(shù)，

∴ 當(dāng)時(shí)，，即．

② 設(shè)，則，故在上是增函數(shù)，

∴ 當(dāng)時(shí)，，即．

由①②知(*)成立，得證．