Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，最后求出其切線方程即可；（2）首先將問(wèn)題“對(duì)任意，不等式恒成立”轉(zhuǎn)化為“”，然后構(gòu)造函數(shù)，，并求出導(dǎo)函數(shù)并進(jìn)行分類(lèi)討論：當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，并分別求出其導(dǎo)函數(shù)并判斷其單調(diào)性，最后結(jié)合已知條件即可得出所求的結(jié)果．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，則，，∴，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．

（2）當(dāng)時(shí)，，．

所以不等式等價(jià)于.

令，，

則.

當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，

所以根據(jù)題意，知有，∴.

當(dāng)時(shí)，由，知函數(shù)在上單調(diào)增減；

由，知函數(shù)在上單調(diào)遞增.

所以.

由條件知，，即.

設(shè)，，則，，

所以在上單調(diào)遞減.

又，所以與條件矛盾.

綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.