Question

函數(shù)f（x）=Asin（ωx+

π

4

）（其中A＞0，ω＞0）的振幅為2，周期為π．
（1）求f（x）的解析式并寫出f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）將f（x）的圖象先左移

π

4

個單位，再將每個點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到g（x）的圖象，求g（x）解析式和對稱中心（m，0），m∈[0，π]．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的圖象,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)函數(shù)振幅和周期求出A，ω 的值即可求f（x）的解析式并寫出f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的平移關(guān)系求出g（x）的表達(dá)式，結(jié)合對稱函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由題可知：A=2且T=

2π

ω

=π解得ω=2，
則f（x）=2sin（2x+

π

4

）；…（5分）
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，（k∈Z）
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]（k∈Z）；…（10分）
（2）將f（x）的圖象先左移

π

4

個單位，得到2sin[2（x+

π

4

）+

π

4

]=2sin（2x+

3π

4

）；
再將每個點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到g（x）=2sin（x+

3π

4

），
由x+

3π

4

=kπ，解得x=kπ-

3π

4

，k∈Z，
∵m∈[0，π]．
∴當(dāng)k=1，得x=m=

π

4

，
即函數(shù)的對稱中心（

π

4

，0），…（14分）

點評：本題主要考查三角函數(shù)的解析式的求解以及三角函數(shù)圖象的變換，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．