Question

18．已知函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2ax+3）．
（1）若f（x）的定義域R，求a的取值范圍．
（2）若f（-1）=3，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）當f（x）的定義域為R時，x²-2ax+3＞0恒成立，利用△＜0求出a的取值范圍；
（2）根據(jù)f（-1）=3求出a的值，再利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結合對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）當f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2ax+3）的定義域為R時，
x²-2ax+3＞0恒成立，
∴△=4a²-4×1×3＜0，
即a²-3＜0，
解得-$\sqrt{3}$＜a＜$\sqrt{3}$，
∴a的取值范圍是-$\sqrt{3}$＜a＜$\sqrt{3}$；
（2）當f（-1）=3時，${log}_{\frac{1}{2}}$（1+2a+3）=3，
即2a+4=$\frac{1}{8}$，解得a=-$\frac{31}{16}$；
∴f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²+$\frac{31}{8}$x+3），
令x²+$\frac{31}{8}$x+3＞0，
解得x＜-$\frac{31+\sqrt{193}}{16}$或x＞-$\frac{31-\sqrt{193}}{16}$；
當x＜-$\frac{31+\sqrt{193}}{16}$時，g（x）=x²+$\frac{31}{8}$x+3是減函數(shù)，
∴f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²+$\frac{31}{8}$x+3）是增函數(shù)；
當x＞-$\frac{31-\sqrt{193}}{16}$時，g（x）=x²+$\frac{31}{8}$x+3是增函數(shù)，
∴f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²+$\frac{31}{8}$x+3）是減函數(shù)；
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-$\frac{31+\sqrt{193}}{16}$），單調(diào)減區(qū)間是（-$\frac{31-\sqrt{193}}{16}$，+∞）．

點評 本題考查了復合函數(shù)的單調(diào)性問題，也考查了一元二次不等式的恒成立問題，是綜合性題目．