Question

6．已知集合A是由方程ax²+2x+1=0（a∈R）的實數(shù)解作為元素構成的集合．
（1）1是A中的一個元素，求集合A中的其他元素；
（2）若A中有且僅有一個元素，求a的值組成的集合B；
（3）若A中至多有一個元素，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)1是A中的一個元素，求出a值，進而解方程可得集合A中的其他元素；
（2）分a=0與a≠0兩種情況討論；
（3）可考慮研究有兩個元素的情況，求其補集即可．

解答 解（1）若1是A中的一個元素，
則只需a+2+1=0，
解得：a=-3，
此時A={x|-3x²+2x+1=0}={1，$-\frac{1}{3}$}，
則集合A中的另一個元素為：$-\frac{1}{3}$．
（2）當a=0時，原方程化為2x+1=0解得x=-$\frac{1}{2}$，滿足條件；
當a≠0時，只需△=4-4a=0，即a=1，
故所求a的值為0或1，
即B={0，1}；
（3）若A=∅，只需△=4-4a＜0，即a＞1，
結合（2）可知，
A中至多有一個元素時，a的值為0或a≥1．

點評 本題以集合為載體，考查了一元二次方程的解得個數(shù)的判斷問題，要注意對最高次數(shù)項是否為零的討論．