Question

3．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處取得極值．
（1）討論函數(shù)f（x）的極值；
（2）過點(diǎn)A（0，16）作曲線y=f（x）的切線，求此切線方程．

Answer 1

分析 （1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（1）=f′（-1）=0，解得a，b，進(jìn)而得到f（x）的解析式，求得導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到極值；
（2）設(shè)出切點(diǎn)，求得切線的斜率，切線方程，代入點(diǎn)（0，16），可得方程，解得切點(diǎn)（-2，-2），進(jìn)而得到切線方程．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx-3，
依題意，f′（1）=f′（-1）=0，
即$\left\{\begin{array}{l}3a+2b-3=0\\ 3a-2b-3=0.\end{array}\right.$，
解得a=1，b=0．
∴f（x）=x³-3x，
f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
令f′（x）=0，得x=-1，x=1．
若x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），則f′（x）＞0，
故f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上是增函數(shù)．
若x∈（-1，1），則f′（x）＜0，
故f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．
所以，f（-1）=2是極大值；f（1）=-2是極小值．
（2）曲線方程為y=x³-3x，點(diǎn)A（0，16）不在曲線上．
設(shè)切點(diǎn)為M（x₀，y₀），則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足${y_0}=x_0^3-3{x_0}$．
因$f'（{x_0}）=3（x_0^2-1）$，故切線的方程為$y-{y_0}=3（x_0^2-1）（x-{x_0}）$，
注意到點(diǎn)A（0，16）在切線上，有$16-（x_0^3-3{x_0}）=3（x_0^2-1）（0-{x_0}）$，
化簡得$x_0^3=-8$，解得x₀=-2．
所以切點(diǎn)為M（-2，-2），
故切線方程為9x-y+16=0．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線方程的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．