Question

6．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點為B，若△BF₁F₂的周長為6，且點F₁到直線BF₂的距離為b．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A₁，A₂是橢圓C長軸的兩個端點，點P是橢圓C上不同于A₁，A₂的任意一點，直線A₁P交直線x=m于點M，若以MP為直徑的圓過點A₂，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知列出方程，求出a，b，即可得到橢圓方程．
（Ⅱ）由題意知A₁（-2，0），A₂（2，0），設(shè)P（x₀，y₀），求出M坐標，由點P在橢圓上，以MP為直徑的圓過點A₂，則$\overrightarrow{{A_2}M}•\overrightarrow{{A_2}P}=0$，求出x₀≠±2．然后求解m即可．

解答 （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）由已知得$\left\{\begin{array}{l}2c+2a=6\\ 2cb=ab\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=\sqrt{3}\\ c=1\end{array}\right.$．
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（5分）
（Ⅱ）由題意知A₁（-2，0），A₂（2，0），…（6分）
設(shè)P（x₀，y₀），則${l_{{A_1}P}}：y=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（x+2）$，得$M（m，\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（m+2））$．
且由點P在橢圓上，得${y_0}^2=3（1-\frac{{{x_0}^2}}{4}）$．…（8分）
若以MP為直徑的圓過點A₂，則$\overrightarrow{{A_2}M}•\overrightarrow{{A_2}P}=0$，…（9分）
所以$（m-2，\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（m+2））•（{x_0}-2，{y_0}）=（m-2）（{x_0}-2）+\frac{{{y_0}^2}}{{{x_0}+2}}（m+2）=0$..…（12分）
因為點P是橢圓C上不同于A₁，A₂的點，所以x₀≠±2．
所以上式可化為$（m-2）-\frac{3}{4}（m+2）=0$，解得m=14．…（14分）

點評 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．