Question

18．已知命題p：方程（ax+2）（ax-1）=0在[-1，1]上有解； 命題q：x₁，x₂是方程x²-mx-2=0的兩個(gè)實(shí)根，不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|對(duì)任意實(shí)數(shù)m∈[-1，1]恒成立．若命題p是真命題，命題q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 若命題p為真，推出a|≥1即a≥1或a≤-1，對(duì)于命題q，推出|x₁-x₂|的最大值等于3．利用a²-5a-3≥3解得 a≥6或a≤-1，利用命題p是真命題，命題q為假命題，求解即可．

解答 解：若命題p為真，可知（ax+2）（ax-1）=0，顯然a≠0，
∴$x=-\frac{2}{a}$或$x=\frac{1}{a}$
∵x∈[-1，1]故有$|{-\frac{2}{a}}|≤1$或$|{\frac{1}{a}}|≤1$，
∴|a|≥1即a≥1或a≤-1…（5分）
對(duì)于命題q，∵x₁，x₂是方程x²-mx-2=0的兩個(gè)實(shí)根，
∴x₁+x₂=m，x₁•x₂=-2，∴$|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{{m^2}+8}$
又m∈[-1，1]，故|x₁-x₂|的最大值等于3．由題意得：a²-5a-3≥3
解得 a≥6或a≤-1故命題q為真，a≥6或a≤-1…（10分）
命題p是真命題，命題q為假命題，則$\left\{{\begin{array}{l}{a≥1或a≤-1}\\{-1＜a＜6}\end{array}}\right.$，
實(shí)數(shù)a的取值范圍為 1≤a＜6…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，函數(shù)恒成立的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．