Question

13．已知函數(shù)f（x）=asin（2x+$\frac{π}{3}$）+1（a＞0）的定義域?yàn)镽，若當(dāng)-$\frac{7π}{12}$≤x≤-$\frac{π}{12}$時(shí)，f（x）的最大值為2．（1）求a的值；     
（2）試用五點(diǎn)法作出該函數(shù)在一個(gè)周期閉區(qū)間上的圖象；
（3）求出該對(duì)稱中心的坐標(biāo)和對(duì)稱軸的方程．

Answer 1

分析 （1）由-$\frac{7π}{12}$≤x≤-$\frac{π}{12}$可得-1≤sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤$\frac{1}{2}$，結(jié)合題意可得$\frac{1}{2}$a+1=2，解方程即可；
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1，列表描點(diǎn)可得圖象；
（3）由2x+$\frac{π}{3}$=kπ可得對(duì)稱中心；由2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$可得對(duì)稱軸．

解答 解：（1）∵-$\frac{7π}{12}$≤x≤-$\frac{π}{12}$，∴-$\frac{7π}{6}$≤2x≤-$\frac{π}{6}$，
∴-$\frac{5π}{6}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{6}$，∴-1≤sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的最大值為$\frac{1}{2}$a+1=2，解得a=2；
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
列表可得

2x+$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
y	1	3	1	-1	1

描點(diǎn)可作出函數(shù)圖象如下：

（3）由2x+$\frac{π}{3}$=kπ可得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，∴對(duì)稱中心為（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，1）k∈Z；
由2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$可得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，∴對(duì)稱軸為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性，屬基礎(chǔ)題．