Question

3．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知（2c-a）cos B=bcos A．
（Ⅰ）求角B的大�。�
（Ⅱ）若a-2c=1，且△ABC的面積為$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，求邊a的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化簡(jiǎn)已知得（2sinC-sinA）cosB=sinBcosA．由三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)可得cosB=$\frac{1}{2}$，結(jié)合B的范圍即可求B．
（Ⅱ）由S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．可解得ac=10．又a-2c=1，即可得解．

解答 （本題滿分15分）
解：（Ⅰ）因?yàn)椋?c-a）cosB=bcosA，
由正弦定理得（2sinC-sinA）cosB=sinBcosA．…（2分）
即2sinCcosB=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC．…（5分）
所以cosB=$\frac{1}{2}$，
即B=$\frac{π}{3}$．…（7分）
（Ⅱ）因?yàn)椤鰽BC的面積為$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．…（9分）
所以ac=10．…（11分）
又因?yàn)閍-2c=1，
所以a=5．…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．