【題目】已知函數(shù), .
(1)若曲線在處的切線與直線垂直,求實數(shù)的值;
(2)設(shè),若對任意兩個不等的正數(shù),都有恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若上存在一點,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】試題分析:(1)先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得,解得實數(shù)的值;(2)設(shè),構(gòu)造函數(shù),則轉(zhuǎn)化為在上為增函數(shù),即得在上恒成立,參變分離得,最后根據(jù)二次函數(shù)最值求實數(shù)的取值范圍;(3)先化簡不等式,并構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)數(shù),按導(dǎo)函數(shù)零點與定義區(qū)間大小關(guān)系討論函數(shù)單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最小值,根據(jù)最小值小于零解得實數(shù)的取值范圍.
試題解析:解:(1)由,得.
由題意, ,所以.
(2).
因為對任意兩個不等的正數(shù),都有恒成立,設(shè),則即恒成立.
問題等價于函數(shù),
即在上為增函數(shù),
所以在上恒成立.即在上恒成立.
所以,即實數(shù)的取值范圍是.
(3)不等式等價于,整理得.構(gòu)造函數(shù),
由題意知,在上存在一點,使得.
.
因為,所以,令,得.
①當(dāng),即時, 在上單調(diào)遞增.只需,解得.
②當(dāng)即時, 在處取最小值.
令即,可得.
令,即,不等式可化為.
因為,所以不等式左端大于1,右端小于等于1,所以不等式不能成立.
③當(dāng),即時, 在上單調(diào)遞減,只需,解得.
綜上所述,實數(shù)的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: (a>b>0)的離心率為,短軸長為2.直線l:y=kx+m與橢圓C交于M,N兩點,又l與直線, 分別交于A,B兩點,其中點A在第一象限,點B在第二象限,且△OAB的面積為2(O為坐標(biāo)原點).
(1)求橢圓C的方程;
(2)求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法證明下列問題
(1)設(shè)是公比為的等比數(shù)列且,證明數(shù)列不是等比數(shù)列.
(2)設(shè)為虛數(shù)單位,為正整數(shù),,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一智能掃地機器人在處發(fā)現(xiàn)位于它正西方向的處和北偏東30°方向上的處分別有需要清掃的垃圾,紅外線感應(yīng)測量發(fā)現(xiàn)機器人到的距離比到的距離少0.4米,于是選擇沿路線清掃,已知智能掃地機器人的直線行走速度為0.2,忽略機器人吸入垃圾及在處旋轉(zhuǎn)所用時間,10秒鐘完成了清掃任務(wù).
(1)、兩處垃圾的距離是多少?
(2)智能掃地機器人此次清掃行走路線的夾角的正弦值是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著人口老齡化的到來,我國的勞動力人口在不斷減少,“延遲退休”已經(jīng)成為人們越來越關(guān)注的話題,為了解公眾對“延遲退休”的態(tài)度,某校課外研究性學(xué)習(xí)小組在某社區(qū)隨機抽取了50人進行調(diào)查,將調(diào)查情況進行整理后制成下表:
年齡 | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) | [40,45) |
人數(shù) | 4 | 5 | 8 | 5 | 3 |
年齡 | [45,50) | [50,55) | [55,60) | [60,65) | [65,70) |
人數(shù) | 6 | 7 | 3 | 5 | 4 |
經(jīng)調(diào)查年齡在[25,30),[55,60)的被調(diào)查者中贊成“延遲退休”的人數(shù)分別是3人和2人.現(xiàn)從這兩組的被調(diào)查者中各隨機選取2人,進行跟蹤調(diào)查.
(I)求年齡在[25,30)的被調(diào)查者中選取的2人都贊成“延遲退休”的概率;
(II)若選中的4人中,不贊成“延遲退休”的人數(shù)為,求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,圓的普通方程為. 在以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為 .
(Ⅰ) 寫出圓 的參數(shù)方程和直線的直角坐標(biāo)方程;
( Ⅱ ) 設(shè)直線 與軸和軸的交點分別為,為圓上的任意一點,求的取值范圍.
【答案】(1);.
(2).
【解析】【試題分析】(I)利用圓心和半徑,寫出圓的參數(shù)方程,將圓的極坐標(biāo)方程展開后化簡得直角坐標(biāo)方程.(II)求得兩點的坐標(biāo), 設(shè)點,代入向量,利用三角函數(shù)的值域來求得取值范圍.
【試題解析】
(Ⅰ)圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
直線的直角坐標(biāo)方程為.
(Ⅱ)由直線的方程可得點,點.
設(shè)點,則 .
.
由(Ⅰ)知,則 .
因為,所以.
【題型】解答題
【結(jié)束】
23
【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù), .
(Ⅰ)若對于任意, 都滿足,求的值;
(Ⅱ)若存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年2月9-25日,第23屆冬奧會在韓國平昌舉行.4年后,第24屆冬奧會將在中國北京和張家口舉行.為了宣傳冬奧會,某大學(xué)在平昌冬奧會開幕后的第二天,從全校學(xué)生中隨機抽取了120名學(xué)生,對是否收看平昌冬奧會開幕式情況進行了問卷調(diào)查,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:
收看 | 沒收看 | |
男生 | 60 | 20 |
女生 | 20 | 20 |
(Ⅰ)根據(jù)上表說明,能否有的把握認為,收看開幕式與性別有關(guān)?
(Ⅱ)現(xiàn)從參與問卷調(diào)查且收看了開幕式的學(xué)生中,采用按性別分層抽樣的方法選取8人,參加2022年北京冬奧會志愿者宣傳活動.
(ⅰ)問男、女學(xué)生各選取多少人?
(ⅱ)若從這8人中隨機選取2人到校廣播站開展冬奧會及冰雪項目宣傳介紹,求恰好選到一名男生一名女生的概率P.
附:,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠家具車間造、型兩類桌子,每張桌子需木工和漆工梁道工序完成.已知木工做一張、型型桌子分別需要1小時和2小時,漆工油漆一張、型型桌子分別需要3小時和1小時;又知木工、漆工每天工作分別不得超過8小時和9小時,而工廠造一張、型型桌子分別獲利潤2千元和3千元.
(1)列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出可行域;
(2)怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤最大,最大利潤是多少?
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