【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在平面直角坐標(biāo)系中,以為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為;直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).直線與曲線分別交于兩點.

(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;

(2)若點的極坐標(biāo)為,,求的值.

【答案】(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為, 直線的普通方程為.

(2)

【解析】

(1)利用代入法消去參數(shù)方程中的參數(shù),可得直線的普通方程,極坐標(biāo)方程兩邊同乘以利用 即可得曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程,根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義,利用韋達(dá)定理可得結(jié)果.

(1)由,得,

所以曲線的直角坐標(biāo)方程為

, 直線的普通方程為.

(2)將直線的參數(shù)方程代入并化簡、整理,

. 因為直線與曲線交于,兩點。

所以,解得.

由根與系數(shù)的關(guān)系,得,.

因為點的直角坐標(biāo)為,在直線.所以

解得,此時滿足.,故..

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