Question

【題目】對于無窮數(shù)列{an}，記T={x|x=aj﹣ai，i＜j}，若數(shù)列{an}滿足：“存在t∈T，使得只要am﹣ak=t（m，k∈N*，m＞k），必有am+1﹣ak+1=t”，則稱數(shù)列具有性質(zhì)P（t）．

（1）若數(shù)列{an}滿足 ，判斷數(shù)列{an}是否具有性質(zhì)P（2）？是否具有性質(zhì)P（4）？說明理由；

（2）求證：“T是有限集”是“數(shù)列{an}具有性質(zhì)P（0）”的必要不充分條件；

（3）已知{bn}是各項均為正整數(shù)的數(shù)列，且{bn}既具有性質(zhì)P（2），又具有性質(zhì)P（5），求證：存在正整數(shù)N，使得aN，aN+1，aN+2，…，aN+K，…是等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）見解析； （3）見解析.

【解析】

（1）由，可得a2﹣a1=2，但a3﹣a2=﹣1≠2，數(shù)列{an}不具有性質(zhì)P（2）；同理可判斷數(shù)列{an}具有性質(zhì)P（4）；

（2）舉例“周期數(shù)列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={﹣1，0，1}是有限集，利用新定義可證數(shù)列{an}不具有性質(zhì)P（0），即不充分性成立；再證明其必要性即可；

（3）依題意，數(shù)列{bn}是各項為正整數(shù)的數(shù)列，且{bn}既具有性質(zhì)P（2），又具有性質(zhì)P（5），可證得存在整數(shù)N，使得bN，bN+1，bN+2，…，bN+k，…是等差數(shù)列．

（1）∵，

a2﹣a1=2，但a3﹣a2=﹣1≠2，數(shù)列{an}不具有性質(zhì)P（2）；

同理可得，數(shù)列{an}具有性質(zhì)P（4）．

（2）證明：（不充分性）對于周期數(shù)列1，1，2，2，1，1，2，2，…，

T={﹣1，0，1}是有限集，但是由于a2﹣a1=0，a3﹣a2=1，

所以不具有性質(zhì)P（0）；

（必要性）因為數(shù)列{an}具有性質(zhì)P（0），

所以一定存在一組最小的且m＞k，滿足am﹣ak=0，即am=ak

由性質(zhì)P（0）的含義可得am+1=ak+1，am+2=ak+2，…，a2m﹣k﹣1=am﹣1，a2m﹣k=am，…

所以數(shù)列{an}中，從第k項開始的各項呈現(xiàn)周期性規(guī)律：ak，ak+1，…，am﹣1為一個周期中的各項，

所以數(shù)列{an}中最多有m﹣1個不同的項，

所以T最多有個元素，即T是有限集；

（3）證明：因為數(shù)列{bn}具有性質(zhì)P（2），數(shù)列{bn}具有性質(zhì)P（5），

所以存在M′、N′，使得bM'+p﹣bM'=2，bN'+q﹣bN'=5，

其中p，q分別是滿足上述關系式的最小的正整數(shù)，

由性質(zhì)P（2），P（5）的含義可得，bM'+p+k﹣bM'+k=2，bN'+q+k﹣bN'+k=5，

若M'＜N'，則取k=N'﹣M'，可得bN'+p﹣bN'=2；

若M'＞N'，則取k=M'﹣N'，可得bM'+q﹣bM'=5．

記M=max{M'，N'}，則對于bM，有bM+p﹣bM=2，bM+q﹣bM=5，顯然p≠q，

由性質(zhì)P（2），P（5）的含義可得，bM+p+k﹣bM+k=2，bN+q+k﹣bN+k=5，

所以bM+qp﹣bM=（bM+qp﹣bM+（q﹣1）p）+（bM+（q﹣1）p﹣bM+（q﹣2）p）

+…+（bM+p﹣bM）=2qbM+qp﹣bM=（bM+pq﹣bM+（p﹣1）q）+

（bM+（p﹣1）q﹣bM+（p﹣2）q）+…+（bM+q﹣bM）=5p

所以bM+qp=bM+2q=bM+5p．

所以2q=5p，

又p，q是滿足bM+p﹣bM=2，bM+q﹣bM=5的最小的正整數(shù)，

所以q=5，p=2，bM+2﹣bM=2，bM+5﹣bM=5，

所以，bM+2+k﹣bM+k=2，bM+5+k﹣bM+k=5，

所以，bM+2k=bM+2（k﹣1）+2=…=bM+2k，bM+5k=bM+5（k﹣1）+5=…=bM+5k，

取N=M+5，

若k是偶數(shù)，則bN+k=bN+k；

若k是奇數(shù)，則bN+k=bN+5+（k﹣5）=bN+5+（k﹣5）=bN+5+（k﹣5）=bN+k，

所以，bN+k=bN+k，

所以bN，bN+1，bN+2，…，bN+k，…是公差為1的等差數(shù)列