Question

雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F（c，0），以原點(diǎn)為圓心，c為半徑的圓與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為A，若此圓在A點(diǎn)處的切線的斜率為

3

3

，則雙曲線C的離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A（m，n），根據(jù)切線垂直于過切點(diǎn)的半徑算出n=-

3

m．而以點(diǎn)O為圓心，c為半徑的圓方程為x²+y²=c²，將A的坐標(biāo)代入圓方程，算出點(diǎn)A的坐標(biāo)，將此代入雙曲線方程，并結(jié)合c²=a²+b²化簡整理，再根據(jù)離心率公式整理得e⁴-8e²+4=0，解之即可得到該雙曲線的離心率．

解答： 解：設(shè)A的坐標(biāo)為（m，n），可得直線AO的斜率滿足k=-

3

，即n=-

3

m…①
∵以點(diǎn)O為圓心，c為半徑的圓方程為x²+y²=c²
∴將①代入圓方程，得m²+3m²=c²，解得m=-

c

2

，n=

3

2

c
將點(diǎn)A（-

c

2

，

3

2

c）代入雙曲線方程，得

c2 4

a2

-

3 4 c2

b2

=1
化簡得：

1

4

c²b²-

3

4

c²a²=a²b²，
∵c²=a²+b²
∴b²=c²-a²代入上式，化簡整理得c⁴-8c²a²+4a⁴=0
兩邊都除以a⁴，整理得e⁴-8e²+4=0，解之得e²=4+2

3

或e²=4-2

3

∵雙曲線的離心率e＞1，∴該雙曲線的離心率e=

3

+1．
故答案為：

3

+1．

點(diǎn)評：本題給出雙曲線滿足的條件，求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．