Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）過點P（1，-2）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其準線方程；
（Ⅱ）過焦點F且斜率為2的直線l與拋物線交于A，B兩點，求△OAB的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）通過點的坐標適合方程求拋物線C的方程，并求其準線方程；
（Ⅱ）過焦點F且斜率為2的直線l，設出直線方程，利用過焦點F且斜率為2的直線l與拋物線交于A，B兩點，聯(lián)立方程組，利用韋達定理弦長公式以及點到直線的距離求出△OAB的面積．

解答： （本小題滿分（13分），（Ⅰ）小問（5分），（Ⅱ）小問8分）
解：（Ⅰ）由題意：4=2p，解得：p=2，
從而拋物線的方程為y²=4x，準線方程為x=-1…（5分）
（Ⅱ）拋物線焦點坐標為F（1，0），依題意可設直線y=2x-2…（6分）
設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立

y=2x-2 y2=4x

得：4x²-12x+4=0，即x²-3x+1=0…（8分）
設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由韋達定理有：x₁+x₂=3，x₁x₂=1…（9分）
則弦長|AB|=

5

|x1-x2|=

5

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

•

9-4

=5…（11分）
而原點O（0，0）到直線l的距離d=

2

5

5

…（12分）
故S△FAB=

1

2

×|AB|×d=

5

…（13分）

點評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應用，拋物線的方程的求法以及性質(zhì)的應用，考查計算能力．