Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

（Ⅲ）求證： （， 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為;（Ⅱ）; （Ⅲ）見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分別解不等式、，可求得的增區(qū)間和減區(qū)間.

（Ⅱ）構(gòu)建新函數(shù)， 不等式在上恒成立等價(jià)于在恒成立，而，分三種情形討論可得實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（Ⅲ）由（Ⅱ）得不等式， ，故有，利用累加及其裂項(xiàng)相消法可以得到： ，化簡(jiǎn)后可得到要證明的不等式.

詳解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， ，

.

由解得，由解得，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

（Ⅱ）因當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即恒成立.

設(shè)，只需即可.

由,

（�。┊�(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

故成立；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由，因，所以，

①若，即時(shí)，在區(qū)間上， ，則函數(shù)在上單調(diào)遞增， 在上無最大值；

②若，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，同樣在上無最大值，不滿足條件；

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，由，∵，∴，

∴，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（Ⅲ）據(jù)（Ⅱ）知當(dāng)時(shí)， 在上恒成立，又，

∵

，

∴.