Question

15．在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=2a_n-n+1，n∈N^*．
（1）求證：{a_n-n}是等比數(shù)列；
（2）令b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，求S_n的表達式．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n-n+1，n∈N^*，變形a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），即可證明；
（2）由（1）可得：${a}_{n}-n={2}^{n-1}$，可得${a}_{n}=n+{2}^{n-1}$．b_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{2}$．令T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵a_n+1=2a_n-n+1，n∈N^*，
∴a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），
又a₁-1=1．∴{a_n-n}是等比數(shù)列，首項為1，公比為2．
（2）解：由（1）可得：${a}_{n}-n={2}^{n-1}$，
∴${a}_{n}=n+{2}^{n-1}$．
∴b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n+{2}^{n-1}}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{2}$．
令T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$1-\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=$2-\frac{2+n}{{2}^{n}}$．
∴S_n=$2-\frac{2+n}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{2}n$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”，考查了不懈努力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．