Question

20．求函數(shù)f（x）=sin²xcosx的最大值．

Answer 1

分析 令 t=cosx∈[-1，1]，求得f（x）=g（t）=t-t³，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（t）的單調(diào)性，從而求得g（t）的最大值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=sinx²cosx=cosx（1-cos²x），令 t=cosx∈[-1，1]，
則f（x）=g（t）=t-t³，令g′（t）=1-3t²=0，求得t=±$\frac{1}{3}$．
在（-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）上，g′（t）＞0，故g（t）的一個(gè)增區(qū)間為（-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）；
在[-1，-$\frac{1}{3}$）、（$\frac{1}{3}$，1]上，g′（t）＜0，故g（t）減區(qū)間為[-1，-$\frac{1}{3}$）、（$\frac{1}{3}$，1]．
再根據(jù)g（-1）=0，g（$\frac{1}{3}$）=$\frac{8}{27}$，可得g（t）的最大值為g（$\frac{1}{3}$）=$\frac{8}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于中檔題．