Question

(2007北京宣武模擬)已知函數(shù)f(x)=[x[x]](xR)，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)．

如[－2.1]=－3，[－3]=－3，[2.5]=2．

(1)判斷f(x)的奇偶性；

(2)若x[－2，3]，求f(x)的值域；

(3)若，f(x)的值域?yàn)?/FONT>，現(xiàn)將中的元素的個(gè)數(shù)記為，試求與的關(guān)系，并進(jìn)一步求出的表達(dá)式．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)∵， ， ∴，， 故f(x)為非奇非偶函數(shù)． (2)當(dāng)－2≤x＜－1時(shí)，[x]=－2，則2＜x[x]≤4，∴f(x)可取2，3，4； 當(dāng)－1≤x＜0時(shí)，[x]=－1，則0＜x[x]≤1，∴f(x)可取0，1； 當(dāng)0≤x＜1時(shí)，[x]=0，則x[x]=0，∴f(x)=0； 當(dāng)1≤x＜2時(shí)，[x]=1，則1≤x[x]＜2，∴f(x)=1； 當(dāng)2≤x＜3時(shí)，[x]=2，則4≤x[x]＜6，∴f(x)可取4，5； 又f(3)=[3[3]]=9，故所求f(x)值域?yàn)?/FONT>{0，1，2，3，4，5，9}． (3)當(dāng)n＜x＜n＋1時(shí)，[x]=n，則， 故f(x)可取，，，…，，當(dāng)x=n＋1時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，顯然有． 因此，可得到，又由(2)知，， ∴ ．