已知直線y=-x+1與橢圓（a＞b＞0）相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若橢圓的離心率為，焦距為2，求線段AB的長(zhǎng)；
（2）在（1）的橢圓中，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1，求△ABF1的面積．
【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率為，焦距為2，建立方程，求得幾何量，從而可得橢圓方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，可求線段AB的長(zhǎng)；
（2）求出點(diǎn)F1到直線AB的距離，即可求△ABF1的面積．
解答：解：（1）∵橢圓的離心率為，焦距為2，
∴
∴c=1，a=
∴，
∴橢圓的方程為．
直線y=-x+1與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得：5x2-6x-3=0
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=-
∴|AB|=|x1-x2|=×=；
（2）由（1）可知橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1（-1，0），直線AB的方程為x+y-1=0，
所以點(diǎn)F1到直線AB的距離d==，
又|AB|=，
∴△ABF1的面積S=|AB|•d==．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線y=-x+1與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若橢圓的離心率為
3
3
，焦距為2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若OA⊥OB（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)橢圓的離率e∈[
1
2
，
2
2
]時(shí)，求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線y=x-1與雙曲線交于兩點(diǎn)M，N 線段MN的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為-
2
3
 雙曲線焦點(diǎn)c為
7
，則雙曲線方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線y=-x+1與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若橢圓的離心率為
3
3
，焦距為2，求橢圓方程；
（2）在（1）的條件下，求線段AB的長(zhǎng)；
（3）若橢圓的離心率e∈(
2
2
，1)，向量
OA
與向量
OB
互相垂直（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求橢圓的長(zhǎng)軸的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線y-x=1與曲線y=ex（其中e為自然數(shù)2.71828…）相切于點(diǎn)p，則點(diǎn)p的點(diǎn)坐標(biāo)為
（0，1）
（0，1）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線y=-x+1與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若橢圓的離心率為
3
3
，焦距為2，求線段AB的長(zhǎng)；
（2）（文科做）若線段OA與線段OB互相垂直（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求
1
a2
+
1
b2
的值；
（3）（理科做）若線段OA與線段OB互相垂直（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)橢圓的離心率e∈[
1
2
，
2
2
]時(shí)，求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值．

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