分析 (1)將函數(shù)f(x)=|x2-1|+x2+ax=$\left\{\begin{array}{l}ax+1,-1<x<1\\ 2{x}^{2}+ax-1,x≥1\end{array}\right.$,對a進行分析討論,可得不同情況下函數(shù)f(x)的最小值;
(2)則x1x2=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8}}{4a}$∈(-1,1),結(jié)合(1)可得f(x1x2)>f(1)=a+1;
(3)根據(jù)(1)可得a≤-4,當(dāng)當(dāng)n-m取最大值時,f(n)=$-\frac{1}{8}$a2+1,f(m)=a+2,進而證得結(jié)論.
解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)=|x2-1|+x2+ax=$\left\{\begin{array}{l}ax+1,-1<x<1\\ 2{x}^{2}+ax-1,x≥1\end{array}\right.$,
當(dāng)-4<a<-1時,函數(shù)f(x)在(-1,1)上遞減,在(1,+∞)上遞增,故當(dāng)x=1時,函數(shù)f(x)取最小值a+1;
當(dāng)a≤-4時,函數(shù)f(x)在(-1,a)上遞減,在(a,+∞)上遞增,故當(dāng)x=-$\frac{a}{4}$時,函數(shù)f(x)取最小值$-\frac{1}{8}$a2-1;
(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點x1,x2,不妨令x1<x2,
則x1=-$\frac{1}{a}$,x2=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+8}}{4}$,
故x1x2=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8}}{4a}$∈(-1,1),
故f(x1x2)>f(1)=a+1,
(3)若對任意t0∈(m,n),總存在兩個不同的t1,t2∈(1,+∞)使得f(t0)-2=f(t1)=f(t2),
則a≤-4,f(t0)-2=f(t1)=f(t2)∈($-\frac{1}{8}$a2-1,a+1),
則f(t0)∈($-\frac{1}{8}$a2+1,a+2),
故當(dāng)n-m取最大值時,f(n)=$-\frac{1}{8}$a2+1,f(m)=a+2,
即an+1=$-\frac{1}{8}$a2+1,am+1=a+2,
解得:n=$-\frac{1}{8}$a,m=$\frac{a+1}{a}$,
則n-m=$-\frac{1}{8}$a-$\frac{a+1}{a}$=$-\frac{1}{8}$a-$\frac{1}{a}$-1=$\frac{-{a}^{2}-8a-8}{8a}$,
令t=$\frac{-{a}^{2}-8a-8}{8a}$,則t′=$\frac{-{a}^{2}+8}{8{a}^{2}}$<0在a≤-4時,恒成立,
故當(dāng)a=-4時,n-m取最大值-$\frac{1}{4}$,
即n-m≤$\frac{1}{4}$.
點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用,分類討論思想,函數(shù)的零點,本題轉(zhuǎn)化復(fù)雜,運算量大,屬于難題.
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A. | (-2,0)∪(2,+∞) | B. | (-∞,-2)∪(2,+∞) | C. | (-2,0)∪(0,2) | D. | (-∞,-2)∪(0,2) |
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A. | 1 | B. | $\sqrt{2}$ | C. | $\sqrt{3}$ | D. | 2 |
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