Question

13．已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P在橢圓上，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$ $•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，則橢圓離心率的取值范圍是$[\frac{\sqrt{2}}{2}，1）$．

Answer 1

分析 設(shè)P（x，y），則滿足橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$ $•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，化為x²=$\frac{{a}^{2}（{c}^{2}-^{2}）}{{a}^{2}-^{2}}$，利用0≤x²＜a²，即可得出．

解答 解：設(shè)P（x，y），則滿足橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
又$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-c-x，-y），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（c-x，-y）．
且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$ $•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴x²-c²+y²=0，
∴y²=c²-x²．
代入橢圓方程可得：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{c}^{2}-{x}^{2}}{^{2}}$=1．
化為x²=$\frac{{a}^{2}（{c}^{2}-^{2}）}{{a}^{2}-^{2}}$，
∵0≤x²＜a²，
∴0≤$\frac{{a}^{2}（{c}^{2}-^{2}）}{{a}^{2}-^{2}}$＜a²，又b²=a²-c²，0＜e＜1．
化簡(jiǎn)解得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e＜1．
故答案為：$[\frac{\sqrt{2}}{2}，1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．